Question

【题目】如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．

（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在△OAB，根据OA=3km，OB=3km，∠AOB=90°，可以求出,在△OAM中,运用余弦定理,求出, 在△OAN中,可以求出,在△OMN中，运用正弦定理求出;

（2）解法1：在△OAM中，由余弦定理可以求出的表达式, 的表达式,在△OAN中,可以求出的表达式,运用正弦定理求出,运用面积求出的表达式，运用换元法、运用基本不等式，求出的最小值；

解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜,在△OAM中，由正弦定理得OM的表达式．在△OAN中，由正弦定理得ON的表达式．利用面积公式可得出，化简整理求最值即可＝

（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．

在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=7，

所以OM=，所以cos∠AOM==，

在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．

在△OMN中，由=，得MN=×=．

（2）解法1：设AM=x，0＜x＜3．

在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcosA=x2-3x+9，

所以OM=，

所以=，

在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）

=cos∠AOM=．

由=，

得．

所以S△OMN=OMONsin∠MON=

=，（0＜x＜3）．

令6-x=t，则x=6-t，3＜t＜6，则S△OMN==（t-9+）

≥（2-9）=．

当且仅当t=，即t=3，x=6-3时等号成立，S△OMN的最小值为．

所以M的位置为距离A点6-3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是

km2．

解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜

在△OAM中，由=，得OM=．

在△OAN中，由=，得ON==．

所以S△OMN=OMONsin∠MON=

===

==，（0＜θ＜）．

当2θ+=，即θ=时，S△OMN的最小值为．

所以应设计∠AOM=，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．