Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，点P在底面ABCD上的射影为A，BC=CD= AD=1，E为棱AD的中点，M为棱PA的中点．
（1）求证：BM∥平面PCD；
（2）若∠ADP=45°，求二面角A﹣PC﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：法一：取PD的中点N，连接MN，CN．

在△PAD中，N、M分别为棱PD、PA的中点∴

∵ ∴四边形BCNM是平行四边形∴BM∥CN

∵BM平面PCD，CN平面PCD∴BM∥平面PCD…（5分）

（法二：连接EM，BE．

在△PAD中，E、M分别为棱AD、PA的中点∴MN∥PD

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形∴BE∥CD∵BE∩ME=E，MN∥PD，BE∥CD

∴平面BEM∥平面PCD∵BM平面BEM∴BM∥平面PCD）

（2）以A为原点，以 ， 的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz…（6分）

则A（0，0，0），C（2，1，0），E（1，0，0）．

∵点P在底面ABCD上的射影为A

∴PA⊥平面ABCD

∵∠ADP=45°∴PA=AD=2

∴P（0，0，2）

∴ ， ，

设平面PAC的一个法向量 ，

则

设a=1，则

设平面PCE的一个法向量为 ，

则 ，

设x=2，则

∴cos = =

由图知：二面角A﹣PC﹣E是锐二面角，设其平面角为θ，则

cosθ=|cos |=

【解析】（1.）法一：取PD的中点N，连接MN，CN．证明BM∥CN，然后证明BM∥平面PCD． （法二：连接EM，BE．通过证明平面BEM∥平面PCD，然后证明BM∥平面PCD）（2.）以A为原点，以 ， 的方向分别为x轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz求出相关点的坐标，求出平面PAC的一个法向量，平面PCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣PC﹣E的余弦函数值．
【考点精析】关于本题考查的直线与平面平行的判定，需要了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能得出正确答案．