Question

【题目】已知函数f（x）=2x+1，数列{an}满足an=f（n）（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn ， 且b1=2，Tn=bn+1﹣2（n∈N）．
（1）分别求{an}，{bn}的通项公式；
（2）定义x=[x]+（x），[x]为实数x的整数部分，（x）为小数部分，且0≤（x）＜1．记cn= ，求数列{cn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：an=f（n）=2n+1．

当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=bn+1﹣bn，bn+1=2bn，b1=2≠0，又令n=1，得b2=4．

∴ ，{bn}是以2为首项和公比的等比数列，

．

（2）解：依题意， ； ；

当n≥3时，可以证明0＜2n+1＜2n，即 ，∴ ，

则 ， ， ．

令 ， ，

两式相减并化简得得 ．

∴ ，检验知，n=1不合，n=2适合，

∴

【解析】（1）an=f（n）=2n+1．当n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1 ， 可得bn+1=2bn ， b1=2≠0，又令n=1，得b2=4，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由题意， ； ；当n≥3时，可以证明0＜2n+1＜2n ， 因此 ，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．