【题目】已知函数(其中
为常数).
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若不等式在
时有解,求实数
的取值范围;
(3)设,是否存在正数
,使得对于区间
上的任意三个实数
,
,
,都存在以
,
,
为边长的三角形?若存在,试求出这样的
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),偶函数;
,非奇非偶函数;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)先由题意得到函数的定义域,再由函数奇偶性的定义,分别讨论
与
,即可判断出结果;
(2)先由题意,将问题转化为在
上能成立;求出
的最大值,即可得出结果;
(3)先假设存在正数满足题意;设
,求出
,将对于区间
上的任意三个实数
,
,
,都存在以
,
,
为边长的三角形,转化为
,任取
,作差得到
,分别讨论
,
,
,
四种情况,得出函数单调性,求出最值,列出不等式求解,即可得出结果.
(1)由题意可得:的定义域为
,
又,
当,即
时,
,所以
是偶函数;
当,即
时,
是非奇非偶函数;
(2)由不等式可得:
,即
,
所以不等式在
时有解,
等价于在
上能成立;
又在
上单调递增,所以
因此,只需,解得
;
即实数的取值范围是
;
(3)假设存在正数满足题意;
设,则
在
上单调递减,
所以,则
;
所以对于区间上的任意三个实数
,
,
,都存在以
,
,
为边长的三角形,等价于
,
任取,所以
,
则,
①当时,
,所以
,
即在
上单调递增,
所以,
,
由得
,解得:
,所以
;
②当时,易得:
在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,
,
由得:
,解得:
;
所以;
③当时,易得:
在在
上单调递减,在
上单调递增,所以
,
,
由得:
,解得:
,
所以;
④当时,
,所以
,
即在
上单调递减,
所以,
,
由得
,解得
,所以
;
综上,,又
为正数,所以
.
即存在满足题意.
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【题目】已知函数f(x)= sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ+
cos(
+φ)(0<φ<π),其图象上相邻两条对称轴之间的距离为π,且过点(
). (I)求ω和φ的值;
(II)求函数y=f(2x),x∈[0, ]的值域.
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【题目】某投资公司现提供两种一年期投资理财方案,一年后投资盈亏的情况如表:
投资股市 | 获利40% | 不赔不赚 | 亏损20% | 购买基金 | 获利20% | 不赔不赚 | 亏损10% |
概率P | | | | 概率P | p | | q |
(I)甲、乙两人在投资顾问的建议下分别选择“投资股市”和“购买基金”,若一年后他们中至少有一人盈利的概率大于 ,求p的取值范围;
(II)某人现有10万元资金,决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选出一种,若购买基金现阶段分析出 ,那么选择何种方案可使得一年后的投资收益的数学期望值较大?
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【题目】已知函数f(x)= ,g(x)=af(x)﹣|x﹣1|.
(Ⅰ)当a=0时,若g(x)≤|x﹣2|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;
(Ⅱ)当a=1时,求g(x)的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=2x+1,数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn , 且b1=2,Tn=bn+1﹣2(n∈N).
(1)分别求{an},{bn}的通项公式;
(2)定义x=[x]+(x),[x]为实数x的整数部分,(x)为小数部分,且0≤(x)<1.记cn= ,求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】如果对一切实数x、y,不等式 ﹣cos2x≥asinx﹣
恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞, ]
B.[3,+∞)
C.[﹣2 ,2
]
D.[﹣3,3]
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【题目】已知函数f(x)=|x+1|+|x﹣2|,不等式f(x)≥t对x∈R恒成立.
(1)求t的取值范围;
(2)记t的最大值为T,若正实数a,b满足a2+b2=T,求证: ≤
.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,过椭圆 右焦点的直线
交椭圆C于M,N两点,P为M,N的中点,且直线OP的斜率为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设另一直线l与椭圆C交于A,B两点,原点O到直线l的距离为 ,求△AOB面积的最大值.
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【题目】平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A、B的坐标分别为(1,1)、(﹣3,3).若动点P满足 ,其中λ、μ∈R,且λ+μ=1,则点P的轨迹方程为( )
A.x﹣y=0
B.x+y=0
C.x+2y﹣3=0
D.(x+1)2+(y﹣2)2=5
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