Question

【题目】如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．
（Ⅰ）请在图中作出平面α，使得DEα，且BF∥α，并说明理由；
（Ⅱ）求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，则平面EDG为所求． ∵AD=2，BG=2，AD∥BC，
∴四边形ADGB是平行四边形，
∴AB∥DG，
∵AB平面EDG，DG平面EDG，
∴AB∥平面EDG．
同理AF∥平面EDG，
∵AB∩AF=A，
∴平面ABF∥平面EDG，
∵FB平面ABF，
∴BF∥平面EDG；
（Ⅱ）以点A为坐标原点，AD为y轴，AF为z轴，过A垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则F（0，0，4），E（0，2，1），B（ ，﹣1，0），C（ ，3，0），
∴ =（0，﹣2，3）， =（0，4，0）， =（﹣ ，3，1），
设平面BCE的法向量为 =（x，y，z），则 ，
取 =（ ，0，3），则直线EF与平面BCE所成角的正弦值= = ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中点G，连接EG，DG，证明平面ABF∥平面EDG，可得结论；（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．