Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．
（1）解不等式f（x）＞5；
（2）若关于x的方程 =a的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|= ，

当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞ ；当﹣1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）．

当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2．

所以原不等式解集为{x|x＜﹣2 x＞ }．

（2）解：由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，

在区间（﹣1，+∞）上单调递增．

并且f（x）的最小值为f（﹣1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞），

从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣2，+∞），

进而 的取值范围是（﹣∞，﹣ ]∪（0，+∞）．

根据已知关于x的方程 =a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣ ，0]．

【解析】（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|= ，分类讨论求得原不等式解集．（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得 的取值范围．再根据关于x的方程 =a的解集为空集，求得实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．