Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x+

π

2

）=f（-x），则函数y=f（

π

4

-x）是（　　）

• A、偶函数且在x=0处取得最大值
• B、偶函数且在x=0处取得最小值
• C、奇函数且在x=0处取得最大值
• D、奇函数且在x=0处取得最小值

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：由题意求得半周期，进一步得到周期，再由周期公式求得ω，然后结合f（x+

π

2

）=f（-x）求φ，得到函数f（x）的解析式，取x=

π

4

-x得到y=f（

π

4

-x）的解析式，则答案可求．

解答： 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象的相邻两对称中心的距离为π，
即

T

2

=π，
∴T=2π，于是ω=

2π

2π

=1．
∴f（x）=Asin（x+φ）；
由f（x+

π

2

）=f（-x），得：Asin（x+

π

2

+φ）=Asin（-x+φ），
∴x+

π

2

+φ-x+φ=π+2kπ，即φ=

π

4

+kπ，k∈Z．
取k=0，得φ=

π

4

，
∴f（x）=Asin（x+

π

4

），
则y=f（

π

4

-x）=Asin（

π

4

-x+

π

4

）=Acosx，A＞0，
∴函数y=f（

π

4

-x）是偶函数且在x=0处取得最大值．
故选：A．

点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数解析式，由f（x+

π

2

）=f（-x）求得φ是解答该题的关键，是中档题．