Question

设a＞0，f(x)=

ax

a+x

令a1=1，an+1=f(an)，n∈N*．
（1）写出a₂，a₃，a₄的值，并猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行计算，从而可猜想数列{a_n}的通项公式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，注意利用归纳假设．

解答：（1）解：∵a₁=1，∴a2=f(a1)=f(1)=

a

1+a

，a3=f(a2)=

a

2+a

，a4=f(a3)=

a

3+a

，
猜想an=

a

(n-1)+a

，(n∈N+)…（4分）
（2）证明：①n=1时，猜想正确．              …（5分）
②假设n=k时猜想正确，即ak=

a

(k-1)+a

，…（6分）
则ak+1=f(ak)=

a•ak

a+ak

=

a• a (k-1)+a

a+ a (k-1)+a

=

a

(k-1)+a+1

=

a

[(k+1)-1]+a

这说明，n=k+1时猜想正确．                        …（11分）
由①②知，an=

a

(n-1)+a

，(n∈N+)…（12分）

点评：本题考查归纳猜想，考查数学归纳法证明等式，解题的关键是先猜后证．