Question

12．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是①③⑤（写出所有正确命题的编号）
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点；
③如果直线l经过两个不同的整点，则直线l必经过无穷多个整点；
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线．

Answer 1

分析 ①举一例子即可说明本命题是真命题；
②举一反例即可说明本命题是假命题；
③假设直线l过两个不同的整点，设直线l为y=kx，把两整点的坐标代入直线l的方程，两式相减得到两整点的横纵坐标之差的那个点也为整点且在直线l上，利用同样的方法，得到直线l经过无穷多个整点，得到本命题为真命题；
④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$；
⑤举一例子即可得到本命题为真命题．

解答 解：①令y=x+$\frac{1}{2}$，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；
②若k=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，则直线y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$经过（-1，0），所以本命题错误；
设y=kx为过原点的直线，若此直线l过不同的整点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把两点代入直线l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
两式相减得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
则（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直线y=kx上且为整点，
通过这种方法得到直线l经过无穷多个整点，则③正确；
④当k，b都为有理数时，y=kx+b可能不经过整点，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，故④不正确；
⑤令直线y=$\sqrt{2}$x恰经过整点（0，0），所以本命题正确．
综上，命题正确的序号有：①③⑤．
故答案为：①③⑤．

点评 此题考查学生会利用举反例的方法说明一个命题为假命题，要说明一个命题是真命题必须经过严格的说理证明，以及考查学生对题中新定义的理解能力，是一道中档题．