Question

已知定义在实数集R上的函数f（x），同时满足以下三个条件：
①f（-1）=2；②x＜0时，f（x）＞1；③对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y）；
（1）求f（0），f（-4）的值； 
（2）判断函数f（x）的单调性，并求出不等式f(-4x2)f(10x)≥

1

16

的解集．

Answer 1

分析：（1）令x=-1，y=0可求得f（0）=1，又f（-1）=2，进一步可求得f（-2）=4，于是可求得f（-4）的值；
（2）f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1⇒f（-x）=

1

f(x)

，设x₁＜x₂，通过证明

f(x1)

f(x2)

＞1证得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上是单调递减函数，再逆用条件f（x+y）=f（x）f（y），结合已知可知f（-4x²+10x）≥f（4），最后利用f（x）是R的减函数，脱掉“f”，解不等式-4x²+10x≤4，即可得到答案．

解答：解：（1）f（-1+0）=f（-1）f（0），
∴f（0）=1，又f（-1）=2，
∴f（-2）=f（-1-1）=f²（-1）=4，
f（-4）=f（-2-2）=f²（-2）=16；
（2）∵f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，
∴f（-x）=

1

f(x)

，
任取x₁＜x₂，
则

f(x1)

f(x2)

=f（x₁）f（-x₂）=f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），f（x）在R上是单调递减函数．
∴f（4）f（-4）=1⇒f（4）=

1

f(-4)

=

1

16

，
即f（-4x²+10x）≥f（4）．
又∵f（x）是R的减函数，
∴-4x²+10x≤4，
解得：x≤

1

2

或x≥2，
∴原不等式的解集为{x|x≤

1

2

或x≥2}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，突出函数的单调性的判定与转化思想、方程思想的综合应用，属于难题．