Question

23、已知定义在实数集R上的函数f（x），其导函数为f'（x），满足两个条件：①对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy成立；②f'（0）=2．
（1）求函数的f（x）的表达式；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，求出f（0），将f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy中x固定，对y求导，令y=0得f′（x）=2x+2，从而求出函数的f（x）的表达式；
（2）将函数解析式代入可得|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₂²）+2（x₁-x₂）|=|x₁-x₂||x₁+x₂+2|≤|x₁-x₂|||x₁|+|x₂|+2|≤|x₁-x₂|（1+1+2）=4|x₁-x₂|，即可得到结论．

解答：解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x，y∈R），
令x=y=0，得f（0）=0．将f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy中x固定，对y求导，
得f′（x+y）•（x+y）′=f′（y）+2x，令y=0得：f′（x）•1=f′（0）+2x，
∴f′（x）=2x+2，设f（x）=x²+2x+c．又f（0）=0，∴c=0．
∴f（x）=x²+2x．…（6分）
（2）|f（x₁）-f（x₂）|=|（x₁²-x₂²）+2（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂||x₁+x₂+2|≤|x₁-x₂|||x₁|+|x₂|+2|≤|x₁-x₂|（1+1+2）=4|x₁-x₂|．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤4|x₁-x₂|．…（10分）

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了已知导函数求原函数和绝对值不等式的运用，属于中档题．