Question

已知直线l：y=kx+m与椭圆

x2

3

+y2=1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，设弦长|AB|=f（k）
（1）求f（k）个关于实数k的表达式；
（2）若不等式|x-p|+|x-1|≥f（k）对k∈R，x∈R恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程，得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，由此能求出f（k）关于实数k的表达式．
（2）由f（k）=

3+( 2 3 k 3k2+1 )2

≥

3

，知|x-p|+|x-1|≥

3

，利用绝对值的几何意义，能求出实数p的取值范围．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，
得m2=

3

4

(k2+1)，
把y=kx+m代入椭圆方程，
整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，
x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

(3k2+1)

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

∴|AB|=f(k)=

3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2

=

3+ 12k2 9k4+6k2+1

．
（2）∵|AB|=f(k)=

3(9k4+10k2+1) (3k2+1)2

=

3+ 12k2 9k4+6k2+1

=

3+( 2 3 k 3k2+1 )2

≥

3

，（当且仅当k=0时，取最小值）
∴|x-p|+|x-1|≥

3

，
由绝对值的几何意义，知|p-1|≥

3

，
∴p≥

3

+1或p≤1-

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．易错点是绝对值的几何意义的运用．