Question

已知下列4个命题：
①若f（x）为减函数，则-f（x）为增函数；
②若f（x）为增函数，则函数g(x)=

1

f(x)

在其定义域内为减函数；
③若函数f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函数，则m的取值范围是（1，2）；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]是偶函数．其中正确命题的个数是：（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：①根据函数单调性的性质判断．②根据函数单调性的定义及分式函数的定义域判断．③根据分段函数的单调性的定义进行判断．④根据函数奇偶性的定义进行判断．

解答：解：①任设定义域内的两个变量x₁f（x₂），所以-f（x₁）＜-f（x₂），所以-f（x）为增函数，所以①正确．
②因为g(x)=

1

f(x)

在其定义域内要求分母不为零，所以若f（x）为增函数，设f（x）=x，因为f（0）=0，根据分式函数的性质可知，g（0）无意义，所以②错误．
③要使分段函数是增函数，则2-m＞0且m-1＞0，同时2-m+2m≤2（m-1），即

m＜2 m＞1 m＞4

，所以不等式无解，所以③错误．
④若f（x），g（x）在区间[-a，a]上都是奇函数，则f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），所以f（-x）g（-x）=f（x）g（x），所以f（x）•g（x）在区间[-a，a]是偶函数，所以④正确．
故选B．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和函数单调性的判断，要求熟练掌握函数的性质以及函数性质的综合应用．