Question

已知下列4个命题：
①若f（x）在R上为减函数，则-f（x）在R上为增函数；
②若f（x）=

x2-2x-3

，那么它的单调递增区间为[1，+∞）；
③若函数f(x)=

ax(x＞1) (4-2a)x+2(x≤1)

在R上是增函数，则a的取值范围是1＜a＜8；
④函数f（x），g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，则f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数；
其中正确命题的序号是

①④

．

Answer 1

分析：根据函数的单调性的运算法则，得①是真命题；根据函数的定义域的求法和复合函数的单调性，得②不正确；根据分段函数的单调性判别法则，得③不正确；根据函数奇偶性的定义和运算法则，可得④是真命题．由此不难得到本题答案．

解答：解：对于①，因为f（x）与-f（x）在同一单调区间上的单调性相反，
故由f（x）在R上为减函数，可得-f（x）在R上为增函数，可得①是真命题；
对于②，由于函数的定义域为{x|x²-2x-3≥0}={x|x≥3或x≤-1}，
结合复合函数的单调性，得f（x）=

x2-2x-3

的单调递增区间为[3，+∞），得②不正确；
对于③，函数f(x)=

ax(x＞1) (4-2a)x+2(x≤1)

在R上是增函数，得

a＞1 4-2a＞0 a≥6-2a

解之得a∈∅，故1＜a＜8是假命题，得③不正确；
对于④，因为f（x）、g（x）在区间[-a，a]（a＞0）上都是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），x∈[-a，a]（a＞0）
设F（x）=f（x）•g（x），得F（-x）=f（-x）g（-x）=[-f（x）][-g（x）]=f（x）•g（x），
∴F（-x）=F（x），得f（x）•g（x）在区间[-a，a]（a＞0）是偶函数，得④正确．
故答案为：①④

点评：本题给出关于函数单调性和奇偶性的几个命题，叫我们判断它们的真假，着重考查了函数的奇偶性、单调性，及其运算法则等知识，属于基础题．