Question

【题目】数列{an}的前项和为Sn ， 且 ，用[x]表示不超过x的最大整数，如[﹣0.1]=﹣1，[1.6]=1，设bn=[an]，则数列{bn}的前2n项和b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n= ．

Answer 1

【答案】 ﹣n﹣
【解析】解：由 ，①

可得a2﹣S1= ，a2=a1+ = ，

将n换为n﹣1，可得an﹣Sn﹣1= ，n≥2②

由an=Sn﹣Sn﹣1，

①﹣②可得，an+1=2an，

则an=a22n﹣2= 2n﹣2= 2n，

上式对n=1也成立．

则an= 2n，

bn=[an]=[ 2n]，

当n=1时，b1+b2=0+1=1= ﹣1﹣ ；

当n=2时，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8= ﹣2﹣ ；

当n=3时，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39= ﹣3﹣ ；

当n=4时，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= ﹣4﹣ ；

则数列{bn}的前2n项和为b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n

= ﹣n﹣ ．

另解：设T2n=b1+b2+b3+b4++b2n﹣1+b2n，

由T2n﹣T2n﹣2=22n﹣1﹣1，

累加可得数列{bn}的前2n项和为 ﹣n= ﹣n﹣ ．

所以答案是： ﹣n﹣ ．

【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．