Question

已知函数。

（1）当时，求曲线在处切线的斜率；

（2）求的单调区间；

（3）当时，求在区间上的最小值。

 

Answer 1

（1）；（2）当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。（3）；

【解析】

试题分析：（1）把代入函数解析式中，求出函数的导数，把代入导函数中去即得切线的斜率；（2）求出导函数，导函数中含有参数，要对进行讨论，然后令导函数大于0得增区间，令导函数小于0得减区间；（3）利用（2）中求得的单调区间来求函数的最值即可，但要对在范围内进行讨论；

试题解析：【解析】
（1）当时，， 2分

故曲线在处切线的斜率为。 4分

（2）。 6分

①当时，由于，故。

所以， 的单调递减区间为。 8分

②当时，由，得。

在区间上，，在区间上，。

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 10分

综上，当时，的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为。 11分

（3）根据（2）得到的结论，当，即时，在区间上的最小值为，。 13分

当，即时，在区间上的最小值为，。

综上，当时，在区间上的最小值为，当，在区间上的最小值为。 14分

考点：1、函数导数的几何意义；2、函数的单调性及最值问题；