Question

画出不等式|x|+|y|≤1的图形，并指出其解的范围．利用不等式的图形解不等式
①||x+1|-|x-1||＜1；      
②|x|+2|y|≤1．

Answer 1

分析：画出不等式|x|+|y|≤1的图形是如图所示的正方形ABCD及其内部区域，其解的范围是正方形ABCD及其内部区域的点．
①对于不等式||x+1|-|x-1||＜1，根据绝对值的意义求得 ①||x+1|-|x-1||＜1的解集为（-

1

2

，

1

2

）．
对于不等式 ②|x|+2|y|≤1，可得|y|≤

1

2

（1-|x|），其中，-1≤x≤1，它的解集是菱形AECF及其内部的点，

解答：解：画出不等式|x|+|y|≤1的图形是如图所示的正方形ABCD及其内部区域，
其解的范围是正方形ABCD及其内部区域的点．
①对于不等式||x+1|-|x-1||＜1，
由于||x+1|-|x-1||表示数轴上的x对应点到-1对应点的距离减去
x对应点到1对应点的距离的绝对值，其中，-1≤x≤1．
而-

1

2

和

1

2

应点到-1对应点的距离减去它们对应点到1对应点
的距离的绝对值正好等于1，
故①||x+1|-|x-1||＜1的解集为（-

1

2

，

1

2

）．
对于不等式 ②|x|+2|y|≤1，可得|y|≤

1

2

（1-|x|），
其中，-1≤x≤1，它的解集是菱形AECF及其内部的点，如图所示：

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．