Question

22.已知数列{a_n}满足：a₁=,且a_n=(n≥2,n∈N^*).

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)证明：对一切正整数n，不等式a₁·a₂·…·a_n＜2·n!恒成立.

Answer 1

解：

(1)将条件变为：1-因此，{1-}为一个等比数列，

其首项为1-,公比为，从而1-，

据此得a_n=(n≥1)                            …………①

（2）证：据①得，a₁,a₂…a_n=.

为证a₁a₂…a_n＜2·n!，

只要证n∈N^*时有＞.     …………②

显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N*,

≥1-.    …………③

用数学归纳法证明③式：

1°n=1时，显然③式成立，

2°设n=k时，③式成立,

即≥1-,

则当n=k+1时,

≥［1-］

=１--

≥1-.

即当n=k+1时，③式也成立.

故对一切n∈N^*,③式都成立.

利用③得，≥1-

=1-

=1-＞.

故②式成立，从而结论得证.