Question

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上， AE=EB=AF=FD=4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF。

（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值；
（Ⅱ）点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合，求线段FM的长。

Answer 1

解：（1）取线段EF的中点H，连接A′H， 因为A′E=A′F及H是EF的中点， 所以A′H⊥EF 又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF， 所以A′H⊥平面BEF 如图建立空间直角坐标系A-xyz， 则A′（2，2，2），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0） 故=（-2，2，2），=（6，0，0） 设n=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量， 所以 取z=， 则n=（0，-2，） 又平面BEF的一个法向量m=（0，0，1）， 故cos〈n，m〉= 所以二面角的余弦值为。
（2）设FM=x，则M（4+x，0，0）， 因为翻折后，C与A′重合， 所以CM=A′M， 故（6-x）2+82+02=（-2-x）2+22+（2）2，得x=， 经检验，此时点N在线段BC上 所以FM=。