Question

【题目】已知.

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）证明是定义域内的增函数；

（3）解不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函数，证明详见解析；（2）增函数，证明详见解析；（3）。

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域为R，关于原点对称，，验证的值，，所以即，因此函数为奇函数；

（2）首先可以将函数化简，即，根据定义证明函数在定义域内为增函数，设是R上任意两个不等的实数，且，则，，由于函数在R上为增函数，所以当时，，则，，所以，则函数在R上为增函数；（3）由第（1）、（2）问可知函数为奇函数且为增函数，所以转化为，即，所以转化为，所以，，则。

试题解析：（1）∵的定义域为R，且，

∴是奇函数.

（2）

设且，则

∵为增函数，∴当时，，

又∵， ∴，即

∴在定义域上为增函数.

（3） 不等式可化为

由（1）知是奇函数 ∴

由（2）知在定义域上为增函数 ∴

解得