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    2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．
    （1）求水面EF的宽度；
    （2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

    【答案】分析：（1）先建立直角坐标系，从而可得到A，B，C的坐标，然后设出抛物线的标准形式，将A的坐标代入即可得到抛物线的方程，再结合点E的纵坐标可求得其横坐标，从而可求得EF的宽度．
    （2）先设出点M的坐标，根据沿过点M与抛物线相切的切线挖土时挖出的土最少，然后对抛物线方程进行求导，求得点M的切线的斜率，表示出切线方程，然后令y=0、，求得对应的x的值，从而表示出截面面积，最后根据基本不等式的性质可求得t的值．
    解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（-1，1.5），B（1，1.5），C（0，1.5）．

    设抛物线方程为x2=2py（p＞0），由点A（-1，1.5）代入方程，得到1=2p×1.5，即，所以抛物线方程为x2=，
    由点E的纵坐标为1，得到点E横坐标为，所以截面图中水面宽度为m．
    （2）设抛物线上一点M，因为改造水渠时只准挖土，而且要求挖出的土最少，
    所以只能沿过点M与抛物线相切的切线挖土．
    由，即，求导得y'=3x，所以过点M的切线斜率为3t，切线方程为，
    令y=0，则，
    所以截面面积为S=，当且仅当t=时等号成立．
    所以截面梯形的下底边长为m时，才能使所挖的土最少．
    点评：本题主要考查抛物线在实际生活中的应用．抛物线在现实生活中应用很广泛，在高考中也占据很重要的地位，所以希望广大考生在学习这里的知识时能够做到活学活用．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    我国西南地区正遭受着百年不遇的旱灾．据气象预报，未来48小时受灾最严重的甲地有望迎来一次弱降雨过程．某军区命令M部队立即前往甲地准备实施人工增雨作业，已知“人工增雨”高炮车Ⅰ号载有3枚“增雨炮弹”和1枚“增雨火箭”，通过炮击“积雨云”实施增雨，第一次击中积雨云只能使云层中的水分子凝聚，第二次击中同一积雨云才能成功增雨．如果需要，第4次射击才使用“增雨火箭”，当增雨成功或者增雨弹用完才停止射击．每次射击相互独立，且用“增雨炮弹”击中积雨云的概率是
    2
    3
    ，用“增雨火箭”击中积雨云的概率是
    8
    9
    ．
    （Ⅰ）求不使用“增雨火箭”就能成功增雨的概率；
    （Ⅱ）求要使用“增雨火箭”才能成功增雨的概率；
    （Ⅲ）求射击次数不小于3的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某地2000年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2010年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为
    87
    87
    万平方米（精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7，1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2010年我国西南地区遭受特大旱灾，某地政府决定兴修水利，某灌渠的横截面设计方案如图所示，横截面边界AOB设计为抛物线型，渠宽AB为2m，渠深OC为1.5m，正常灌溉时水面EF距AB为0.5m．
    （1）求水面EF的宽度；
    （2）为了使灌渠流量加大，将此水渠的横截面改造为等腰梯形，受地理条件限制要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面等腰梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？

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