Question

【题目】已知函数f（x）= ，其中m为实数．
（Ⅰ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为3x+3y﹣4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得： 所以有： ，∴m=0．
（Ⅱ）f'（x）=x2﹣2（2m+1）x+3m（m+2）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）
当3m=m+2即m=1时，f'（x）=（x﹣3）2≥0，所以f（x）单调递增；
当3m＞m+2即m＞1时，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜m+2或x＞3m；
所以此时f（x）的增区间为（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）
当3m＜m+2即m＜1时，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜3m或x＞m+2；
所以此时f（x）的增区间为（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
综上所述，当m=1时，f（x）增区间为（﹣∞，+∞）；
当m＞1时，f（x）的增区间为（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）；
当m＜1时，f（x）的增区间为（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于m的方程组，解出即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的递增区间即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．