Question

3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（-x）=0，且x≥0时，f（x）=2x-x²．
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[$\frac{1}{b}，\frac{1}{a}$]？若存在，求出a，b的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由条件便知f（-x）=-f（x），求x＜0时f（x）的解析式，可设x＜0，从而f（-x）=-2x-x²=-f（x），求出f（x）即得到所要求的解析式；
（2）根据定义域为[a，b]时，对应的值域为$[\frac{1}{b}，\frac{1}{a}]$，从而方程$2x-{x}^{2}=\frac{1}{x}$的正解便为a，b，这样解方程即可得出a，b．

解答 解：（1）根据条件知f（x）为奇函数；
设x＜0，-x＞0，则f（-x）=-2x-x²=-f（x）；
∴f（x）=x²+2x；
（2）g（x）=-x²+2x，x＞0；
根据题意，g（x）和函数y=$\frac{1}{x}$交点的横坐标便是区间[a，b]的端点值；
∴解$-{x}^{2}+2x=\frac{1}{x}$得$x=1，\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去）；
∴$a=1，b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 考查奇函数的定义，已知x≥0时函数f（x）解析式，求x＞0时f（x）的解析式的方法，曲线的交点坐标和曲线形成方程组解的关系，通过因式分解解高次方程的方法．