Question

（2013•乌鲁木齐一模）设A、B为在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)上两点，O为坐标原点．若OA丄OB，则△AOB面 积的最小值为

a2b2

b2-a2

．

Answer 1

分析：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-

1

k

x，点A（x₁，y₁）满足满足

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

，可求得|OA|²•|OB|²，利用基本不等式即可求得答案．

解答：解：设直线OA的方程为y=kx，则直线OB的方程为y=-

1

k

x，
则点A（x₁，y₁）满足

y=kx x2 a2 - y2 b2 =1

故x12=

a2b2

b2-a2k2

，y12=

k2a2b2

b2-a2k2

，
∴|OA|²=x12+y12=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

，同理|OB|²=

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

，
故|OA|²•|OB|²=

(1+k2)a2b2

b2-a2k2

•

(1+k2)a2b2

k2b2-a2

=

(1+k2)2(a2b2)2

-a2b2+(a4+b4)k2-k4a2b2

∵

k2

(k2+1)2

=

1

k2+ 1 k2 +2

≤

1

4

（当且仅当k=±1时，取等号）
∴|OA|²•|OB|²≥

4a4b4

(b2-a2)2

，又b＞a＞0，
故S_△AOB=

1

2

|OA||OB|的最小值为

a2b2

b2-a2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质与三角形的面积，考查基本不等式，考查转化与综合运算及抽象思维能力，属于难题．