Question

已知抛物线的焦点F在y轴上，抛物线上一点A（a，4）到准线的距离是5，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，过M，N两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为T．
（I）求抛物线的标准方程；
（II）求的值；
（III）求证：的等比中项．

Answer 1

（I）解：由题意可设抛物线的方程为x²=2py（p≠0）．
因为点A（a，4）在抛物线上，所以p＞0．
又点A（a，4）到抛物线准线的距离是5，所以+4=5，可得p=2．
所以抛物线的标准方程为x²=4y．

（II）解：点F为抛物线的焦点，则F（0，1）．
依题意可知直线MN不与x轴垂直，
所以设直线MN的方程为y=kx+1.
因为MN过焦点F，所以判别式大于零．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．

由于
切线MT的方程为，①
切线NT的方程为②
由①，②，得
则
所以

（III）证明：
由抛物线的定义知

=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4k²+4．

即的等比中项．
分析：（I）先根据题意设出抛物线的方程，再结合点A到抛物线准线的距离可求出p的值，进而可得到抛物线的标准方程．
（II）先求出F的坐标，然后设出直线MN的方程，联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程，表示出两根之和与两根之积，然后表示出，再对x²=4y进行求导，表示出切线MT、NT的方程后联立解出交点T的坐标，得到的坐标表示，最后使运算等于0即可．
（III）根据（II）中的坐标求出，再结合抛物线的定义课得到，再由并将直线方程y=kx+1代入，结合（II）中的两根之和与两根之积可得到得证．
点评：本土主要考查直线与抛物线的综合问题以及向量的运算．直线与圆锥曲线是高考的重点问题，常以压轴题的形式出现．