Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R且a≠0），F（x）= ．
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于零．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+1=0，①

∵函数f（x）的值域为[0，+∞），

∴a＞0且判别式△=0，即b2﹣4a=0，②

由①②得a=1，b=2．

∴f（x）=ax2+bx+1=x2+2x+1．

∴F（x）=

（2）解：g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，

函数的对称轴为x= ，

要使函数g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是单调函数，

则区间[﹣2，2]必在对称轴的一侧，

即 或 ，

解得k≥6或k≤﹣2．

即实数k的取值范围是k≥6或k≤﹣2

（3）解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），

即ax2﹣bx+1=ax2+bx+1，

∴2bx=0，解得b=0．

∴f（x）=ax2+1．

∴F（x）= ．

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，

不妨设m＞n，则m＞0，n＜0，

∴F（m）+F（n）=am2+1﹣an2﹣1=a（m2﹣n2）=a（m﹣n）（m+n），

∵m+n＞0，a＞0，m﹣n＞0，

∴F（m）+F（n）=a（m﹣n）（m+n）＞0

【解析】（1）利用f（﹣1）=0和函数f（x）的值域为[0，+∞），建立方程关系，即可求出a，b，从而确定F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，利用g（x）=f（x）﹣kx的单调区间与对称轴之间的关系建立不等式进行求解即可．（3）利用mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）是偶函数，得到b=0，然后判断F（m）+F（n）的取值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．