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(示范高中)已知直线l过点M(-3,3),圆N:x2+y2+4y-21=0.
(1)求截得圆N弦长最长时l的直线方程;
(2)若直线l被圆N所截得的弦长为8,求直线l的方程.
分析:(1)把圆N的方程化为标准方程,找出圆心N的坐标,根据题意可知直线l过圆心时截得的弦最长,故由N及M的坐标确定出直线l的方程即可;
(2)设直线l与圆N交于A和B两点的坐标,过圆心N作ND垂直于AB,根据垂径定理得到D为AB的中点,从而得到|DB|=4,接下来分两种情况考虑:第一,直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-3,把x=-3代入圆N的方程中,得到关于y的一元二次方程,求出方程的解得到y的值,经过检验得到y=-6时,弦AB的长为8,符合题意;第二,当直线k的斜率存在时,设出直线l的斜率为k,由M的坐标和设出的斜率k写出直线l的方程,在直角三角形BDN中,由|DB|的长及半径|NB|的长,利用勾股定理求出|ND|的长,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心N到直线l的距离d,令d等于求出的|ND|的长列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出直线l的方程,综上,得到所有满足题意的直线l的方程.
解答:解:(1)显然,当直线l通过圆心N时,被截得的弦长最长.(2分)
由x2+y2+4y-21=0化为标准方程为x2+(y+2)2=25,
可得:圆心N(0,-2),又M(-3,3),
故所求直线l的方程为:
x-0
-3-0
=
y-(-2)
3-(-2)
,即5x+3y+6=0;(4分)

(2)设直线l与圆N交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(如图)

作ND⊥AB交直线l于点D,显然D为AB的中点.且有|BD|=
|AB|
2
=4
,(6分)
(i)若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-3,
将x=-3代入x2+y2+4y-21=0,得y2+4y-12=0,
解得:y=-6或2,
因此|AB|=|2-(-6)|=8符合题意;(8分)
(ii)若直线l的斜率存在,不妨设直线l的方程为y-3=k(x+3)即:kx-y+3k+3=0
由x2+y2+4y-21=0,得N(0,-2),r=5,
因此|ND|=
r2-|BD|2
=
25-16
=3
,(10分)
又因为点N到直线l的距离|ND|=
|-(-2)+3k+3|
1+k2

所以
|-(-2)+3k+3|
1+k2
=3
,解得:k=-
8
15

此时直线l的方程为:8x+15y-21=0,
综上可知,直线l的方程为8x+15y-21=0或x=-3.(12分)
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有圆的标准方程,直线的两点式方程,垂径定理,勾股定理,点到直线的距离公式,利用了数形结合及分类讨论的思想,当直线与圆相交时,常常做出直线与圆相交弦的弦心距,由弦心距,圆的半径及弦的一半构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.
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