Question

（2006•西城区二模）双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

3

，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线l交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点．
（1）若

RQ

=5

QF

，求直线l的斜率；
（2）证明：M、N两点的纵坐标之积为-

4

3

a2．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线的离心率、向量关系即可表示出点Q的坐标，再代入双曲线的方程即可得出；
（2）分别求出AP，AQ与右准线的交点的纵坐标，再把直线PQ的方程与双曲线的方程联立可得根与系数的关系，即可得出．

解答：（1）解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵双曲线的离心率为

3

，
∴c=

3

a，b=

2

a，
∴双曲线方程为2x²-y²=2a²，
∵

RQ

=5

QF

，∴x2=

5

6

c，
∵直线l：y=k（x-c），∴y2=-

ck

6

，
点Q是双曲线上一点，∴2(

5c

6

)2-(-

ck

6

)2=2a2，
整理得，

50

36

e2-

1

36

e2k2=2，解得k=±

26

．
（2）证明：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由已知AP：y=

y1

x1+a

(x+a)，AQ：y=

y2

x2+a

(x+a)，
∴yM=

y1

x1+a

(

a2

c

+a)，yN=

y2

x2+a

(

a2

c

+a)，
∴yMyN=

y1

x1+a

•

y2

x2+a

(

a2

c

+a)2=

y1y2

x1x2+a(x1+x2)+a2

(

a2

c

+a)2，
由

y=k(x-c) 2x2-y2=2a2

，得（2-k²）x²+2k²cx-k²c²-2a²=0
∴x1+x2=

2k2c

k2-2

，x1x2=

k2c2+2a2

k2-2

，y1y2=k2(x1-c)(x2-c)=k2[x1x2-c(x1+x2)+c2]=k2

2a2-2c2

k2-2

，
x1x2+a(x1+x2)+a2=k2

(a+c)2

k2-2

，
∴yMyN=

2(a2-c2)

(a+c)2

•

a2(a+c)2

c2

=-

4

3

a2．

点评：熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为把直线的方程与双曲线的方程联立可得根与系数的关系、向量的运算等是解题的关键．