Question

已知直线AB是抛物线x²=2py的任意一条弦，F是其焦点
①若

OA

•

OB

+p2=0（A，B异于原点）过A作x轴垂线l，直线OB交l于P，求点P轨迹方程；
②若AB过焦点F，抛物线以A，B为切点的两切线交于点T，求证AT⊥BT，并指明点T在定直线上运动．

Answer 1

分析：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），代入

OA

•

OB

+P2=0并利用抛物线方程，算出x₁x₂=-2p²．再由直线OB的方程y=

y2

x2

x，与直线l的方程x=x₁进行联解，可得P点的轨迹方程；
②设T（x₀，y₀），利用求导得出k_AT=

x1

p

，k_BT=

x2

p

．根据AB是焦点弦，设AB的方程为y=kx+

p

2

，代入抛物线方程并化简得：x²-2pkx-p²=0，由根与系数的关系算出x₁x₂=-p²，从而化简出k_AT•k_BT=-1，得到AT⊥BT．然后设直线AT的方程是y=

x1

p

x-y₁，代入T的坐标化简得x₀x₁-py₁=py₀，同理得x₀x₂-py₂=py₀，从而得出直线AB的方程为x₀x-py=py₀，将焦点F（0，

p

2

）代入，解得y₀=-

p

2

，故点T在定直线y=-

p

2

上运动．

解答：解：①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．则

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，
∵

OA

•

OB

+P2=0，∴x₁x₂+y₁y₂+p²=0，
∵点A、B在抛物线x²=2py上，可得y₁y₂=

x12x22

4p2

∴x₁x₂+

x12x22

4p2

+p²=0，解之得x₁x₂=-2p²．
∵直线OB的方程是y=

y2

x2

x，直线l的方程是x=x₁，
两式相乘，可得xy=

x1y2

x2

x，即xy=

x1x2

2p

x，化简得x（y+p）=0
又∵x≠0，∴y=-p，可得P点轨迹方程为y=-p．
②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），T（x₀，y₀）．则k_AT=

x1

p

，k_BT=

x2

p

．
由于AB是焦点弦，可设AB的方程为y=kx+

p

2

，
代入x²=2py（p＞0）得x²-2pkx-p²=0，由韦达定理得x₁x₂=-p²，
∴k_AT•k_BT=

x1

p

•

x2

p

=

-p2

p2

=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程是y=

x1

p

x-y₁，
∴y₀=

x1

p

x₀-y₁，化简得x₀x₁-py₁=py₀，同理可得x₀x₂-py₂=py₀．
∴AB的方程为x₀x-py=py₀，
又∵AB过焦点F（0，

p

2

）
∴代入直线AB方程，得-

p2

2

=py₀，即y₀=-

p

2

，故点T在定直线y=-

p

2

上运动．

点评：本题研究与抛物线的焦点弦有关的轨迹方程，着重考查直线及圆锥曲线的关系的知识，考查了方程的思想及解析几何的常用解题思想，考查运算能力和综合解题的能力，属于难题．