Question

已知以动点P为圆心的圆与直线y=-

1

20

相切，且与圆x²+（y-

1

4

）²=

1

25

外切．
（Ⅰ）求动P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若M（m，m₁），N（n，n₁）是C上不同两点，且 m²+n²=1，m+n≠0，直线L是线段MN的垂直平分线．
    （1）求直线L斜率k的取值范围；
    （2）设椭圆E的方程为

x2

2

+

y2

a

=1（0＜a＜2）．已知直线L与抛物线C交于A、B两个不同点，L与椭圆E交于P、Q两个不同点，设AB中点为R，PQ中点为S，若

OR

•

OS

=0，求E离心率的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据动点P为圆心的圆与直线y=-

1

20

相切，且与圆x²+（y-

1

4

）²=

1

25

外切，建立方程，即可求动P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）（1）求得直线L斜率，根据M，N两点不同，m²+n²=1且m≠n，可得（m+n）²＜2（m²+n²）=2，即可求得结论；
（2）求出直线方程代入抛物线和椭圆方程，由

OR

•

OS

=0，求得a的范围，即可求得离心率的范围．

解答：解：（Ⅰ）设P（x，y），则有

x2+(y- 1 4 )2

-

1

5

=y+

1

20

…（2分）
化简得：x²=y                        …（4分）
（II）（1）因为直线MN的斜率为

m2-n2

m-n

=m+n
∵l⊥MN，m+n≠0，∴直线L斜率k=-

1

m+n

…（6分）
∵M，N两点不同，m²+n²=1且m≠n，∴（m+n）²＜2（m²+n²）=2
∴0＜|m+n|＜

2

∴|k|＞

2

2

∴k＜-

2

2

或k＞

2

2

   …（8分）
（2）l方程为：y-

m2+n2

2

=k（x-

m+n

2

），
又m²+n²=1，m+n=-

1

k

，∴l方程为：y=kx+1代入抛物线和椭圆方程并整理得：x²-kx-1=0①；（a+2k²）x²+4kx+2-2a=0②，易知方程①的判别式△1=k2+4＞0恒成立，方程②的判别式△2=8a(a+2k2-1)
∵k2＞

1

2

，a＞0，∴△2=8a(a+2k2-1)＞0恒成立              …（10分）
∵R（

k

2

，

k2

2

+1），S（

-2k

a+2k2

，

a

a+2k2

）
∴由

OR

•

OS

=0得-k²+a（

k2

2

+1）=0
∴a=

2k2

k2+2

=2-

4

k2+2

＞2-

4

1 2 +2

=

2

5

∴

2

5

＜a＜2
∵

2-a 2

=e，∴a=2-2e²＞

2

5

∴e²＜

4

5

∴0＜e＜

2 5

5

             …（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．