Question

定义：离心率e=

5 -1

2

的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足

RP

=-2

PF

？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使

SP

2取最大值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）假设E为黄金椭圆，则c=

5 -1

2

a，所以b²=a²-c²=

5 -1

2

a2=ac，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），由

RP

=-2

PF

，点F（c，0），知点P的坐标为（2c，kc），所以点P在椭圆上，由此导出k2=

1-4e2

e

＜0，与k²≥0矛盾．所以，满足题意的直线不存在．
（3）依题有b²=1，由点P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），所以

SP

 2=|

SP

|2=x₁²+（y₁-2）²=（1-a²）(y1-

2

1-a2

)2+(a2+4)-

4

1-a2

．由此能求出点P的坐标．

解答：解：（1）假设E为黄金椭圆，则e=

c

a

=

5 -1

2

，即c=

5 -1

2

a…（1分）
∴b²=a²-c²
=a2-(

5 -1

2

a)2
=

5 -1

2

a2
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，
故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），
∵

RP

=-2

PF

，点F（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）…（6分）
∴点P在椭圆上，
∴

4c2

a2

+

k2c2

b2

=1．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1，
故k2=

1-4e2

e

＜0，与k²≥0矛盾．
所以，满足题意的直线不存在．…（9分）
（3）依题有b²=1，由点P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），
∴

SP

 2=|

SP

|2=x₁²+（y₁-2）²
=（1-a²）y₁²-4y₁+（a²+4）
=（1-a²）(y1-

2

1-a2

)2+(a2+4)-

4

1-a2

．
∵a＞1，
∴1-a²＜0，又-1≤y₁≤1，…（11分）
①当1＜a≤

3

时，

2

1-a2

≤-1，
∴SP²是y₁∈[-1，1]的减函数，
故y₁=-1时，SP²取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）．
②当a＞

3

时，-1＜

2

1-a2

＜1，
∴y1=

2

1-a2

时，

SP

 2取得最大值，
此时点P的坐标是(±

a

a2-1

a4-2a2-3

，

2

1-a2

)…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．