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定义:离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,已知E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),则E为“黄金椭圆”是a,b,c成等比数列的(  )
分析:通过椭圆的离心率与a,b,c的关系,由黄金椭圆推出a,b,c是等比数列,再有a,b,c是等比数列,求出椭圆的离心率,即可判断椭圆是不是黄金椭圆,即可判断选项.
解答:解:对于黄金椭圆有c=a•e=a•
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-1
2
,b2=a2-c2=a2
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-1
2
=a•c,所以黄金椭圆的a.b.c必成等比数列,如果a.b.c成等比数列,所以b2=a2-c2=a•c,e2+e-1=0,解得,e=
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-1
2
,所以椭圆是黄金椭圆;
所以E为“黄金椭圆”是a,b,c成等比数列的充分且必要条件.故选B.
点评:本题考查椭圆的基本性质,等比数列性质的应用,考查计算能力,充要条件的判断方法.
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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点为F(c,0),p为椭圆E上任意一点.
(1)试证:若a、b、c不是等比数列,则E一定不是“黄金椭圆”;
(2)若E为黄金椭圆;问:是否存在过点F,P的直线l;使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
;若存在,求直线l的斜率K;若不存在,说明理由.

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定义:离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两个焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0),P为椭圆E上的任意一点.
(1)试证:若a,b,c不是等比数列,则E一定不是“黄金椭圆”;
(2)设E为“黄金椭圆”,问:是否存在过点F2、P的直线l,使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF2
?若存在,求直线l的斜率k;若不存在,请说明理由;
(3)设E为“黄金椭圆”,点M是△PF1F2的内心,连接PM并延长交F1F2于N,求
|PM|
|PN|
的值.

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定义:离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,对于椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,c为椭圆的半焦距,如果a,b,c不成等比数列,则椭圆E(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:离心率e=
5
-1
2
的椭圆为“黄金椭圆”,已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点为F(c,0)(c>0),P为椭圆E上的任意一点.
(1)试证:若a,b,c不是等比数列,则E一定不是“黄金椭圆”;
(2)没E为黄金椭圆,问:是否存在过点F、P的直线l,使l与y轴的交点R满足
RP
=-2
PF
?若存在,求直线l的斜率k;若不存在,请说明理由;
(3)已知椭圆E的短轴长是2,点S(0,2),求使
SP
2
取最大值时点P的坐标.

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