已知椭圆C的对称中心为坐标原点O.焦点在x轴上.左右焦点分别为F1.F2.且|F1F2|=2.点在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程,(2)设椭圆C上的一点p在第一象限.且满足PF1⊥PF2.⊙O的方程为x2+y2=4．求点p坐标.并判断直线pF2与⊙O的位置关系,(3)设点A为椭圆的左顶点.是否存在不同于点A的定点B.对于⊙O上任意一点M.都有为常数.若存在.求所有满足条件的点B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2

，点

在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4．求点p坐标，并判断直线pF₂与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有

为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点（

，

）求得2a，进而根据a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设点P的坐标为（x，y），根据PF₁⊥PF₂，可得

=0，把x和y代入整理可得方程与椭圆方程联立求得x和y，即点P的坐标．进而可得直线PF₂的方程，进而可求得⊙O圆心O到直线PF₂的距离正好等于半径，进而推断直线PF₂与⊙O相切．
（3）设点M的坐标为（x，y），假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有

为常数，则可表示出|MB|²和|MA|²，代入

中，进而可得求得m，n和λ，求得点B的坐标．
解答：解：（1）设椭圆的方程为

，（a＞b＞0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F₁（

，0），F₂（

，0）
由点（

，

）在该椭圆上，
∴2a=

=6．
∴a=3
又c=

得b²=9-5=4，
故椭圆的方程为

=1．
（2）设点P的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），则为

．①
由PF₁⊥PF₂，得

=0∴（x+

）（x-

）+y²=0
即x²+y²=5②
由①②联立结合x＞0，y＞0解得：x=

，y=

，即点P的坐标为（

，

）
∴直线PF₂的方程为2x+y-2

=0
∵圆x²+y²=4的圆心O到直线PF₂的距离d=

=2
∴直线PF₂与⊙O相切
（3）设点M的坐标为（x，y），则x²+y²=4
假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有

为常数，则
|MB|²=（x-m）²+（y-n）²，|MA|²=（x+3）²+y²
∴

（常数）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m²-n²-4=0
∴

∴

或

（不合舍去）
∴存在满足条件的点B，它的坐标为（-

，0）．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆与圆的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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