Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，.若点在以线段为直径的圆上，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根据右焦点为，长半轴长与短半轴长的比值为2，结合，即可得到的值，从而求得椭圆的方程；

（2）显然直线的斜率不为零，故可设直线的方程为，，.与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理可得和，再由点在以线段为直径的圆上，可得，利用向量的数量积化简可得的方程，解出的值，即可得到直线的方程。

解：（1）由题可知，，，

，.

椭圆的方程为.

（2）易知当直线的斜率为或直线的斜率不存在时，不合题意.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，，.

联立，消去，可得.

，，

.

点在以为直径的圆上，

.

，

，

整理，得，

解得或.

直线的方程为或.