Question

4．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线相互垂直，且C的一个焦点与点$A（1，\sqrt{2}-1）$关于直线y=x-1对称．
（1）求双曲线C的方程；
（2）是否存在直线y=kx+b与双曲线C交于P、Q两点，使得PQ恰被点$（\frac{2}{3}，1）$平分？若存在求出直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设双曲线的方程为x²-y²=a²（a＞0），设C的一个焦点（c，0）与点$A（1，\sqrt{2}-1）$关于直线y=x-1对称，由垂直和平分的条件，解方程可得c，进而得到a，可得双曲线的方程；
（2）假设存在直线y=kx+b与双曲线C交于P、Q两点，使得PQ恰被点$（\frac{2}{3}，1）$平分．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入双曲线的方程，作差，运用中点坐标公式和斜率公式，可得k，由点斜式方程可得直线PQ，联立双曲线的方程，计算判别式，即可判断存在性．

解答 解：（1）焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线相互垂直，
可设双曲线的方程为x²-y²=a²（a＞0），
设C的一个焦点（c，0）与点$A（1，\sqrt{2}-1）$关于直线y=x-1对称，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}-1}{1-c}=-1}\\{\frac{\sqrt{2}-1}{2}=\frac{c+1}{2}-1}\end{array}\right.$，
解得c=$\sqrt{2}$，
由c=$\sqrt{2}$a，可得a=1．
则双曲线C的方程为x²-y²=1；
（2）假设存在直线y=kx+b与双曲线C交于P、Q两点，
使得PQ恰被点$（\frac{2}{3}，1）$平分．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁²-y₁²=1，x₂²-y₂²=1，
两式相减可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由x₁+x₂=$\frac{4}{3}$，y₁+y₂=2，
k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{3}$，
则直线PQ的方程为y-1=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{2}{3}$），
即为y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{9}$，
联立双曲线的方程x²-y²=1，
可得$\frac{5}{9}$x²-$\frac{20}{27}$x-$\frac{106}{81}$=0，
显然判别式大于0，成立．
则存在直线y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{5}{9}$与双曲线相交于P，Q，
使得PQ恰被点$（\frac{2}{3}，1）$平分．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法和点关于直线对称的条件，同时考查点差法求直线方程的方法，注意运用检验存在性，属于中档题．