Question

已知抛物线y²=8x，过M（2，3）作直线l交抛物线于A、B．
（1）求以M（2，3）为中点的弦AB所在直线l的方程．
（2）设AB的中点为N，求N的轨迹方程．

Answer 1

解：（1）由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵A、B在y²=8x上，
∴，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），可得 ，
故AB所在直线l的方程为：y-3= （x-2），即 4x-3y+1=0．
（2）设AB的中点N（x₀，y₀ ），A（x₁，y₁） B （x₂，y₂），∴．
当l斜率存在时，设斜率为k，直线方程为：y-3=k（x-2），∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），∴．
由N（x₀，y₀）在直线l上，∴，
又当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，中点为（2，0）满足上述方程，
所以，所求中点N的轨迹方程为：y²-4x-3y+8=0．
分析：（1）由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0，根据 ，可得的值，点斜式求得AB所在直线l的方程．
（2）设AB的中点N（x₀，y₀ ），由中点公式及 y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，求出l的斜率k=，再根据中点N（x₀，y₀）在直线l上，得到y₀²-4x₀-3y₀+8=0，当直线l斜率不存在时，中点为（2，0）满足上述方程，从而得到中点N的轨迹方程为：y²-4x-3y+8=0．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是
解题的关键．