Question

定义域为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f(x)=

ax

a2x+1

(a＞0且a≠1)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）求函数f（x）的解析式，即求x∈（-1，0）及x=±1时的表达式，由f（x）的奇偶性及f（x）=f（x-2）即可求得；
（2）因为f（x）为奇函数，所以只需先求出区间（0，1）上的值域即可，注意要对a分情况讨论．

解答：解：（1）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），则f（-x）=

a-x

a-2x+1

=

ax

a2x+1

，
因为f（x）为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），∴f（x）=-

ax

a2x+1

，
又f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1）∴f（1）=f（-1）=0．
故f（x）=

ax a2x+1 ，x∈(0，1) 0，x=±1 - ax a2x+1 ，x∈(-1，0)

．
（2）①当a＞1时，因为当x∈（0，1）时，a^x∈（1，a），设t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（1，a）），则y′=1-

1

t2

＞0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
②当0＜a＜1时，因为当x∈（0，1）时，a^x∈（a，1），设t=a^x，y=t+

1

t

（t∈（a，1）），则y′=1-

1

t2

＜0，
∴y=t+

1

t

=ax+

1

ax

∈（2，

a2+1

a

），∴

ax

a2x+1

=

1

ax+ 1 ax

∈（

a

a2+1

，

1

2

）．
综合①②，又函数f（x）为[-1，0）∪（0，1]上的奇函数，且f（-1）=f（1）=0，
所以函数f（x）的值域为（-

1

2

，-

a

a2+1

）∪{0}∪（

a

a2+1

，

1

2

）．

点评：本题综合性强，知识覆盖面广，既考查函数的奇偶性、值域，又考查分析问题综合运用知识解决问题的能力．