Question

12．在极坐标系中，曲线C₁的极坐标方程为ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ，现以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁的直角坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）若曲线C₁、C₂交于A、B两点，以AB为边作等边△ABD，求△ABD外接圆的圆心坐标．

Answer 1

分析 （1）ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数得：x+2$\sqrt{3}$y=0；
（2）联立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）⇒BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$，点D在AB的中垂线上，点D的坐标为（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），t=±3$\sqrt{13}$

解答 解：（1）曲线C₁的极坐标方程为ρ=10cosθ-6$\sqrt{3}$sinθ⇒ρ²=10ρcosθ-6$\sqrt{3}$ρsinθ⇒x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，
∴曲线C₁的普通方程：x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0；
曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6+2\sqrt{3}t}\\{y=-\sqrt{3}-t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数得：x+2$\sqrt{3}$y=0，
∴曲线C₂的普通方程：x+2$\sqrt{3}$y=0．
（2）联立x+2$\sqrt{3}$y=0，x²+y^2-10x+6$\sqrt{3}$y=0，消去x得y²+2$\sqrt{3}$y=0⇒A（0.0），B（12，-2$\sqrt{3}$）．
等边△ABD的边长为：2$\sqrt{39}$，BD=2$\sqrt{39}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{13}$
点D在AB的中垂线上，点D的坐标为（6+$\frac{t}{\sqrt{13}}$，-$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}t}{\sqrt{13}}$），
t=3$\sqrt{13}$时，D（9，5$\sqrt{3}$），此时△ABD外接圆的圆心坐标为（7，$\sqrt{3}$）．
t=-3$\sqrt{13}$时，D（3，-7$\sqrt{3}$），此时△ABD外接圆的圆心坐标为（5，-3$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了题考察了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的互换．利用参数设坐标，求解距离的问题，属于中档题．