Question

【题目】已知椭圆 的左右焦点分别为F1 ， F2 ， 且F2为抛物线 的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为 和4．
（1）求C1和C2的方程；
（2）直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A，B，l2交C1交于C，D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：抛物线的准线方程x=﹣ ，c= ，

C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为 和4，

，得 ，

∴C1和C2的方程分别为

（2）

解：由题意，AB的斜率不为0，设AB：x=ty﹣2，

由 ，得y2﹣8ty+16=0，△=64t2﹣64≤0，得t2≤1，

由 ，得（t2+1）y2﹣4ty﹣4=0，

，AB与CD间的距离为 ，

由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形， ，

设 ，

．

即为四边形AF1F2C的面积的取值范围．

【解析】（1）由椭圆及抛物线的性质，列方程组求得a，b和c的值，即可求得C1和C2的方程；（2）设直线方程，代入抛物线和椭圆方程，求得|AB|，则AB与CD间的距离为 ，利用椭圆的对称性及函数单调性即可求得四边形AF1F2C的面积的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解椭圆的标准方程(椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：)．