Question

设椭圆过点M（，1），且左焦点为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）判断是否存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足•，若存在求出直线l的方程，不存在说明理由．

Answer 1

解：（1）∵左焦点为F1（-，0），
∴c²=a²-b²=2，
∵椭圆过点M（，1），
∴，
联立，得a²=4，b²=2，
∴椭圆C方程：．
（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足•．
设直线l为y=kx+2，
把y=kx+2代入，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，
∵，∴，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴，
解得k=，
∴直线l为．
分析：（1）由左焦点为F1（-，0），知c²=a²-b²=2，由椭圆过点M（，1），知，联立，能推导出椭圆C方程．
（2）设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入，并整理，得（2k²+1）x²+8kx+4=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=，由，知x₁x₂+y₁y₂=0，所以，由此能求出直线l的方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆、向量、韦达定理的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．