Question

设⊙O为不等边△ABC的外接圆，△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，P是△ABC所在平面内的一点，且满足

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

（P与A不重合）．Q为△ABC所在平面外一点，QA=QB=QC．有下列命题：
①若QA=QP，∠BAC=90°，则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上；
②若QA=QP，则

QP

•

PB

=

QP

•

PC

；
③若QA＞QP，∠BAC=90°，则

BP

CP

=

AB

AC

；
④若QA＞QP，则P在△ABC内部的概率为

S△ABC

S⊙O

（S_△ABC，S_⊙O分别表示△ABC与⊙O的面积）．
其中不正确的命题有

 

（写出所有不正确命题的序号）．

Answer 1

分析：根据

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

，可得AP是∠BAC的平分线，利用QA=QB=QC，可得Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，由QA=QP，可知P为

BC

的中点，由QA＞QP，则P在圆内，再对选项判断，即可得出结论．

解答：解：∵

PA

•

PB

=

c

b

PA

•

PC

+

b-c

b

PA2

，
∴

PA

•

PB

-

PA2

=

c

b

（

PA

•

PC

-

PA2

），
∴

PA

•

AB

=

c

b

PA

•

AC

，
∴|

PA

|c•cos∠PAB=

c

b

|

PA

|•bcos∠PAC，
∴∠PAB=∠PAC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∵QA=QB=QC，
∴Q在平面ABC上的射影是△ABC的外心O，
∵∠BAC=90°，△ABC是不等边三角形，
∴点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上不正确；
∵QA=QP，∴P为

BC

的中点，∴OP⊥BC，
∵OP是QP在平面ABC上的射影，∴QP⊥BC，
∴

QP

•

PB

=

QP

•

PC

，故②正确；
③QA＞QP，则P在圆内，∠BAC=90°，则BC为直径，若

BP

CP

=

AB

AC

，则AP为∠BPC的平分线且AP经过点O，与△ABC是不等边三角形矛盾，故③不正确；
④若QA＞QP，∵AP是∠BAC的平分线，所以P在△ABC内部的概率应该以长度为测度，故④不正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查向量知识的运用，考查命题真假的判断，综合性强，难度大．