Question

（本小题满分12分）
设不等边三角形ABC的外心与重心分别为M、G，若A(－1，0)，B(1，0)且MG//AB.
(Ⅰ) 求三角形ABC顶点C的轨迹方程；
(Ⅱ) 设顶点C的轨迹为D，已知直线过点（0，1）并且与曲线D交于P、N两点，若O为坐标原点，
满足OP⊥ON，求直线的方程.

Answer 1

（I）设C（x，y）（xy≠0）                              …………1分
∵MG∥AB，可设G（a ,b），则M（0，b）.                      
∴                     (1)                    …………3分
∵M是不等边三解形ABC的外心，∴|MA|=|MC|，
即          （2）                  …………4分
由（1）（2）得.
所以三角形顶点C的轨迹方程为.        …………6分
（II）设直线l的方程为，，，
由消y得。                …………8分
∵直线l与曲线D交于P、N两点，∴△=，
又，。
∵，∴，∴ …………6分
∴，∴。         …………11分
∴直线l的方程为。                            …………12分

解析