Question

已知离心率为

1

2

的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点P，点F是椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点M（m，0），使过M且与椭圆交于R、S两点的任意直线l，均满足∠RFP=∠SFP？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：解（Ⅰ）由e=

c

a

=

1

2

，知a=2c，b=

3

c，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）设l的方程是y=k（x-m），由

y=k(x-m) x2+ 4y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2m

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-3

3+4k 2

，由PF⊥x轴，∠RFP=∠SFP，知k_RF+k_SP=0，由此能导出m=2时，存在满足条件的点M（2，0）．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c，b=

3

c，
设椭圆的方程为

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，
直线AB的方程为y=-

1

2

x+1，
由

x2 4c2 + y2 3c2 =1 y=- 1 2 x+1

得x²-x+1-3c²=0，
由题意知△=1-4（1-3c²）=0，
∴c=

1

2

，椭圆的方程为x2+

4y2

3

=1．
（Ⅱ）假设存在满足条件的点M，易知直线l的斜率不存在时，不合题意，
故设其斜率为k，则l的方程是y=k（x-m），
由

y=k(x-m) x2+ 4y2 3 =1

，得（3+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-3=0，
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），则x1+x2=

8k2m

3+4k2

，x1x2=

4k2m2-3

3+4k 2

，
∵P(

1

2

，

3

4

)，F(

1

2

，0)，∴PF⊥x轴，
∵∠RFP=∠SFP，∴k_RF+k_SP=0，
∴

y1

x1- 1 2

+

y2

x2- 1 2

=

k(x1-m)

x1- 1 2

+

k(x2-m)

x2- 1 2

=k•

2× 4k2m2-3 3+4k2 -( 1 2 +m)• 8k2m 3+4k2 +m

4k2m2-3 3+4k2 - 1 2 ×  8k2m 3+4k2 + 1 4

2
=0，
∴m=2．
∴m=2时，存在满足条件的点M（2，0）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．