Question

【题目】已知抛物线E：，圆C：．

若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程；

在的条件下，若直线l交抛物线E于A，B两点，x轴上是否存在点使为坐标原点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定点

【解析】

求得抛物线的焦点，设出直线的方程，运用直线和圆相切的条件：，解方程可得所求直线方程；设出A，B的坐标，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程可得t，即M的坐标，即可得到结论．

由题意可得抛物线的焦点，

当直线的斜率不存在时，过F的直线不可能与圆C相切，设直线的斜率为k，方程设为，

即，由圆心到直线的距离为，

当直线与圆相切时，，解得，

即直线方程为；

可设直线方程为，，，

联立抛物线方程可得，则，，

x轴上假设存在点使，

即有，可得，

即为，

由，，

可得，

即，即，符合题意；

当直线为，由对称性可得也符合条件．

所以存在定点使得．