Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=2a_n，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
①求数列{a_n}的通项公式；
②若bn=anlog

1

2

an，S_n=b₁+b₂+b₃+…b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的n的最小值．

Answer 1

分析：①根据题意，{a_n}是公比为q=2的等比数列，由a₃+2是a₂、a₄的等差中项建立关于a₂的方程，解出a₂=4算出a₁=2，从而可得数列{a_n}的通项公式；
②由①算出b_n=-n•2ⁿ，从而得出S_n的表达式，利用错位相减法求和与等比数列的求和公式算出S_n=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，代入不等式S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，解之即可找到满足条件的n的最小值．

解答：解：①由a_n+1=2a_n，可得数列{a_n}是公比为q=2的等比数列，
∵a₃+2是a₂、a₄的等差中项，
∴a₂+a₄=2（a₃+2），可得a₂+4a₂=2（2a₂+2），解之得a₂=4，
因此a₁=

a2

q

=2，可得a_n=a₁•q^n-1=2ⁿ；
②∵a_n=2ⁿ，∴bn=anlog

1

2

an=2ⁿ•log

1

2

2n=-n•2ⁿ，
因此，S_n=-1×2¹-2×2²-3×2³-…-n•2ⁿ，
∴-S_n=1×2¹+2×2²+3×2³-…+n•2ⁿ，…（1）
两边都乘以2，得-2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴-…+n•2ⁿ⁺¹，…（2）
用（1）-（2）得：S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴不等式S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50，即（1-n）2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50，
化简得2ⁿ⁺¹-2＞50，即2ⁿ⁺¹＞52，解之得n的最小值为5．
∴使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的n的最小值等于5．

点评：本题给出等比数列满足的条件，求它的通项并依此解关于n的不等式．着重考查了等比数列的通项公式、求和公式和数列求和的一般方法等知识，属于中档题．