Question

已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：首先分析题目已知不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，可变形为|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立，又因为根据绝对值不等式可得到右边大于等于1．即可得到|x-1|-|2x+3|≤1，分类讨论去绝对值号即可求得x的取值范围．

解答：解：已知对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立
：即|x-1|-|2x+3|≤

|2m-1|+|1-m|

|m|

恒成立
因为：

|2m-1|+|1-m|

|m|

≥

|2m-1+1-m|

|m|

=1
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x≤-

3

2

时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②当-

3

2

＜x＜1时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．
故答案为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

点评：此题主要考查绝对值不等式的应用问题，有一定的灵活性，题中应用到分类讨论的思想，属于中档题目．