Question

已知圆C：x²+（y-m）²=4，点M（1，0）．
（Ⅰ）若过点M的直线可为圆C的切线时，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若直线l：x-2y=0与圆C相交于P、Q两点，且△PCQ的面积为

8

5

，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据过M的切线存在，得到点M在圆上或圆外，得到圆心与M距离大于等于半径，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离|CD|，再由半径及|CD|，利用垂径定理及勾股定理表示出|PQ|，利用三角形的面积公式，根据已知的面积求出m的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵过点M的切线存在，
∴点M在圆上或圆外，∴1+m²≥4，
∴m≥

3

或m≤-

3

；
（Ⅱ）∵弦心距|CD|=

|2m|

5

，
∴弦长|PQ|=2

4-( |2m| 5 )2

=4

5-m2 5

，
∴S_△PCQ=

1

2

•

5-m2 5

•

|2m|

5

=

8

5

，
解得：m=±1或m=±2．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，点与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．