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    等差数列{an}的首项和公差都是
    23
    ，记{an}前n项和为Sn．等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．
    （Ⅰ） 写出Si（i=1，2，3，4，5）构成的集合A；
    （Ⅱ） 若q为正整数，问是否存在大于1的正整数k，使得Tk，T2k同时为集合A中的元素？若存在，写出所有符合条件的{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由；
    （Ⅲ） 若将Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．
    分析：（Ⅰ）直接代入等差数列的求和公式得到Sn．再把n=1，2，3，4，5分别代入即可求出集合A；
    （Ⅱ）由于{bn}的前n项和为Tn．故应分类讨论，然后利用Tk，T2k同时为集合A中的元素进行求解；
    （Ⅲ）∵Sn=na1+
    n(n-1)
    2
    d    =
    2
    3
    ×[n+
    n(n-1)
    2
    ]=
    n(n+1)
    3
    ．Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），故可求．
    解答：解：（Ⅰ）∵Sn=na1+
    n(n-1)
    2
    d    =
    2
    3
    ×[n+
    n(n-1)
    2
    ]=
    n(n+1)
    3
    ．
    把n=1，2，3，4，5分别代入．
    ∴A={
    2
    3
    ，2，4，
    20
    3
    ，10}．
    （Ⅱ）当q=1时，Tk=kb1，T2k=2kb1；
    所以T2k=2Tk；
    ∵Tk，T2k同时为集合A中的元素，
    ∴Tk=2，T2k=4⇒kb1=2，
    ∴b1=
    2
    k
    ，
    ∴bn=
    2
    k
    ；
    当q≠1时，Tk=
    b1(1-qk)
    1-q
    ，T2k=
    b1(1-q2k)
    1-q
    ；
    T2k
    Tk
    =1+qk，∵q为正整数，正整数k大于1．
    ∴当Tk=
    2
    3
    时，T2k=
    20
    3
    ，得到qk=9⇒q=3，k=2⇒Tk=T2=b1（1+q）=b1×4=
    2
    3
    ⇒b1=
    1
    6
    ，故bn=
    1
    6
    ×3n-1    =
    1
    2
    ×3n-2；
    当Tk=2时，T2k=10，得到qk=4⇒q=2，k=2⇒Tk=T2=b1（1+q）=b1×3=2⇒b1=
    2
    3
    ，bn=
    2
    3
    ×2n-1=
    1
    3
    ×2n；
    当Tk=4，Tk=
    20
    3
    ，Tk=10时，找不到满足条件的{bn}．
    （Ⅲ）Sn=na1+
    n(n-1)
    2
    d    =
    2
    3
    ×[n+
    n(n-1)
    2
    ]=
    n(n+1)
    3
    ．
    ∵Sn中的整数项按从小到大的顺序构成数列{cn}，∴n=3k或n+1=3k（k∈Z），
    故可求cn=n（3n+1），或cn=n（3n-1）．
    点评：本题的考点是等差数列与等比数列的综合，考查等差数列、等比数列的求和公式，关键是理解题意，合理转化．
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    1an•an+1
    }    的前n项的和为Tn，求Tn．

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