Question

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1，
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n=tana_n·tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：(1)设t₁，t₂，…，t_n+2构成等比数列，其中t₁=1，t_n+2=100，
则T_n=t₁·t₂·…·t_n+1·t_n+2， ①
T_n=t_n+2·t_n+1·…·t₂·t₁，②
①×②并用利t_it_n+3-i=t₁t_n+2=10²(1≤i≤n+2)，
得T_n²=(t₁t_n+2)·(t₂t_n+1)·…·(t_n+1t₂)·(t_n+2t₁)=10²⁽ⁿ⁺²⁾，
∴a_n=lgT_n=n+2，n≥1。
(2)由题意和(1)中计算结果，知b_n=tan (n+2)·tan(n+3)，n≥1，
另一方面，利用，
得，
所以
。