Question

在数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：tan(k+1)•tank=

tan(k+1)-tank

tan1

-1，k∈N*．
（Ⅲ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知T_n=100

n+2

2

，结合a_n=lgT_n，（n≥1），即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，即可证得结论；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论，累加，即可求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答：（Ⅰ）解：由题意，数1和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作T_n，
由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知T_n=100

n+2

2

，
又a_n=lgT_n，（n≥1），
∴a_n=lgT_n=lg100

n+2

2

=lg10ⁿ⁺²=n+2；
（Ⅱ）证明：tan1=tan[（k+1）-k]=

tan(k+1)-tank

1-tan(k+1)tank

∴tan(k+1)•tank=

tan(k+1)-tank

tan1

-1，k∈N*
（Ⅲ）解：b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）tan（n+3）=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

tan(1+3)-tan(1+2)

tan1

+

tan(2+3)-tan(2+2)

tan1

+…+

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-n
=

tan(n+3)-tan3

tan1

-n

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，解题的关键是熟练掌握等差数列与等比数列的性质，再结合对数的运用性质得出求出数列{a_n}的通项公式，本题考查了综合利用知识转化变形的能力